# Linux文件系统基本概念



* Linux没有驱动器盘符（如C:, D:），而是采用单一的虚拟目录结构。
* 所有存储设备（硬盘、U盘等）都被整合到这个虚拟目录中。
* 根目录（/）是虚拟目录的最底层，所有其他目录都是从根目录衍生出来的。
* 其他存储设备通过挂载到虚拟目录的某个目录（挂载点）来访问。


```bash
tree -L 1
```

![image.png](/static/img/5b9fde7a772ffa8f03563df2084e06da.image.webp)


这里展示了根目录（/）下的一级子目录。每个目录都有特定用途，例如：

* /home：存放用户的主目录（如你的/home/cc）。即

```
/home/  # 所有用户主目录的父目录
└── cc/  # 你的个人主目录
```
* /bin：存放可执行程序（二进制文件）的目录，它是指向/usr/bin的符号链接（->表示符号链接）。
* /etc：系统配置文件目录。

```bash
 cd home
 tree -L 2
```

在家目录下展开：可以看到用户主目录cc下挂载的文件

![image.png](/static/img/28e160a588c3c48a790c9ed68fc9e196.image.webp)

这表示：
* 在/home目录中只有cc一个用户目录
* cc目录下有两个项目：安装脚本和miniconda3目录

# 指令和符号
## 常用命令示例

* 切换目录：cd


```bash
cd /usr/bin      # 绝对路径：从根目录开始
cd ~/miniconda3  # 相对路径：从家目录开始
cd ..            # 返回上级目录
```

* 列出文件和目录：ls


```bash
ls         # 基本列表（不显示隐藏文件）
ls -a      # 显示所有文件（包括以.开头的隐藏文件）
ls -l      # 详细列表（权限/所有者/大小等）
ll         # 等于 ls -l（你的系统已配置别名）

# 你的实际操作：
cc@LAPTOP-2A2OV24P:~$ /usr/bin/ls -a
.aws  .bashrc  .cache  miniconda3  # 显示隐藏文件
```

* 显示当前工作目录（绝对路径）：pwd


```bash
cc@LAPTOP-2A2OV24P:~/miniconda3/bin$ pwd
/home/cc/miniconda3/bin  # 显示当前绝对路径
```

（用pwd查看当前位置，ls查看内容）

* 查看目录结构：tree
直观地展示了文件系统的层级关系，特别适合初学者理解目录结构。需要安装

```bash
sudo apt install tree
```

## 路径中的特殊字符
* ~：当前用户的主目录（例如cd ~）

## 实践

```bash
cc@LAPTOP-2A2OV24P:~/miniconda3/bin$ cd ~  #返回你的家目录(/home/cc)
cc@LAPTOP-2A2OV24P:~$ pwd    #显示当前位置
/home/cc   #输出

```

```bash
cc@LAPTOP-2A2OV24P:~$ cd /  #切换到根目录
cc@LAPTOP-2A2OV24P:/$ tree -L 2  #显示根目录下所有文件和子目录（只显示到第二层）
cc@LAPTOP-2A2OV24P:/$ tree -L 1 #仅显示根目录下的直接子目录
cc@LAPTOP-2A2OV24P:/$ cd home #相对路径（因为没以/开头）；从当前目录（/）进入
cc@LAPTOP-2A2OV24P:/home$ tree -L 2 #显示所有用户的家目录结构
```

# 路径表示法

## 绝对路径：从根目录(/)开始的完整路径
* 特点：

* 总是以/开头(根目录)
* 与当前位置无关，在任何目录下输入效果相同
* 可以准确定位系统中的任何文件

```bash
cd ~/miniconda3/bin
# 等同于：
cd /home/cc/miniconda3/bin

```
* 解析：

~展开为 /home/cc（绝对路径起点）

/home/cc/miniconda3/bin是完整路径



## 相对路径：相对于当前工作目录的路径

* 相对路径的正确用法

```bash
cc@LAPTOP-2A2OV24P:~$ cd miniconda3/bin 
cc@LAPTOP-2A2OV24P:~/miniconda3/bin$ pwd
/home/cc/miniconda3/bin  #输出

```
在主目录使用相对路径进入bin目录的正确做法是：


```bash
cd miniconda3/bin
```

* 相对路径的错误用法

```bash
cc@LAPTOP-2A2OV24P:~/miniconda3/bin$ cd ~
cc@LAPTOP-2A2OV24P:~$ cd bin     
-bash: cd: bin: No such file or directory
```

提示目录不存在。原因是主目录下没有 bin目录。根据用户之前的操作，miniconda3安装在主目录下，其结构为：

```bash
/home/cc/
├── miniconda3/
│   ├── bin/
│   ├── ... 
└── ...
```
而用户当前位于主目录（~或 /home/cc），该目录下没有名为 bin的子目录，因此 cd bin会失败。

Ubuntu指令———文件系统相关

![image.png](/static/img/d328c3d11ba15b3d8f9bf09cfbac61da.image.webp)




![image.png](/static/img/0acdd7bdebc9003147db9467d1741f06.image.webp)


## 基本模型


电机模型：

$$V_m=i_aR_a+L_a\frac{di_a}{dt}+E_b$$

反电动势 (emf) $$E_{b}$$ 与角速度 $$ \dot{\varphi} $$ 相关。

$$E_{b}=K_{b}\dot{\varphi}$$

因为：$$L_a<<R_a$$

所以：
$$i_a=\frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}$$

电机转矩 $\tau$ 和反电动势 (emf) 有关：

$$
\tau=K_t i_a=K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} (公式4)
$$








| 符号 | 单位 | 定义                           |
| ---- | ---- | ------------------------------ |
| θ    | rad  | 摆杆角度                       |
| φ    | rad  | 惯性轮角度                     |
| J₁   | kg.m²| 包括电机定子的摆杆转动惯量     |
| J₂   | kg.m²| 包括电机转子的轮子转动惯量     |
| c₁   | N.m.s/rad | 摆杆摩擦系数               |
| c₂   | N.m.s/rad | 轮子摩擦系数               |
| m₁   | kg   | 摆杆和定子的质量               |
| m₂   | kg   | 轮子和转子的质量               |
| l₁   | m    | 从原点到摆杆重心的长度         |
| l₂   | m    | 从原点到轮子重心的长度         |
| Kb   | V/(rad/s) | 反电动势常数               |
| Kt   | N.m/A | 电机扭矩常数                  |
| Ra   | Ω    | 电枢绕组电阻                   |

- 平动动能 Translational kinetic: 

$$
T_1=\frac{1}{2} m_1\left(l_1 \dot{\theta}\right)^2+\frac{1}{2} m_2\left(l_2 \dot{\theta}\right)^2 (公式6)
$$

- 转动动能 Rotational kinetic:

$$
T_2=\frac{1}{2} J_1 \dot{\theta}^2+\frac{1}{2} J_2(\dot{\theta}+\dot{\varphi})^2(公式7)
$$


系统的动能：

$$
\begin{aligned}
T & =T_1+T_2 \\
& =\frac{1}{2}\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \dot{\theta}^2+J_2 \dot{\theta} \dot{\varphi}+\frac{1}{2} J_2 \dot{\varphi}^2
\end{aligned} (公式8)
$$

以O点作为势能的基准。因此，势能为：

$$
V=\left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \cos (\theta)(公式9)
$$


平面倒立摆的拉格朗日函数为：

$$
\begin{aligned}
L & =T-V=\frac{1}{2}\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \dot{\theta}^2 \\
& +J_2 \dot{\theta} \dot{\varphi}+\frac{1}{2} J_2 \dot{\varphi}^2-\left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \cos (\theta)
\end{aligned}(公式10)
$$


瑞利耗散函数（Rayleigh Dissipation Function）​​ 是分析力学中用于描述系统能量耗散（如摩擦力、空气阻力等非保守力）的数学工具。它通过广义速度的二次函数形式，将耗散力引入拉格朗日方程，从而简化含阻尼系统的动力学建模。

耗散能量：

$$
R=\frac{1}{2} c_1 \dot{\theta}^2+\frac{1}{2} c_2 \dot{\varphi}^2(公式11)
$$


从拉格朗日方程得到的关于 θ 的旋转轴上的力矩为，这个公式是最后一个公式需要用的：

$$
\begin{gathered}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right)+\frac{\partial R}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0 (公式12)\\ 
\Leftrightarrow\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \ddot{\theta}+J_2 \ddot{\varphi}+c_1 \dot{\theta} -\left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \sin (\theta)=0
(公式13)\end{gathered} 
$$


从拉格朗日方程得到的关于 φ 的旋转轴上的力矩为：

$$
\begin{aligned}
& \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}\right)+\frac{\partial R}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial L}{\partial \varphi}=\tau (公式14)\\
& \Leftrightarrow J_2(\ddot{\theta}+\ddot{\varphi})+c_2 \dot{\varphi}=\tau
(公式15)\end{aligned}
$$

$$\tau$$ 是电机的扭矩。

因为：

$$
\tau=K_t i_a=K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}(公式4)
$$

由公式4和公式15可以得到：

$$
J_2(\ddot{\theta}+\ddot{\varphi})+c_2 \dot{\varphi}=K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}(公式16)
$$


由公式13和公式16进行推理：

$$
\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \ddot{\theta}+J_2 \ddot{\varphi}+c_1 \dot{\theta} -\left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \sin (\theta)=0
$$

线性化：

$$
\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \ddot{\theta}+J_2 \ddot{\varphi}+c_1 \dot{\theta} -\left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \theta =0
$$

之前有这个式子：

$$
J_2(\ddot{\theta}+\ddot{\varphi})+c_2 \dot{\varphi}=K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}
$$

首先，我们将两个方程写出来：

1. 
$$
\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \ddot{\theta} + J_2 \ddot{\varphi} + c_1 \dot{\theta} - \left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \theta = 0
$$

2. 
$$
J_2(\ddot{\theta}+\ddot{\varphi}) + c_2 \dot{\varphi} = K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}
$$

从第二个方程中，我们可以解出 $\ddot{\varphi}$：

$$
J_2 \ddot{\theta} + J_2 \ddot{\varphi} + c_2 \dot{\varphi} = K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}
$$

$$
J_2 \ddot{\varphi} = K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} - J_2 \ddot{\theta} - c_2 \dot{\varphi}
$$

$$
\ddot{\varphi} = \frac{K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} - J_2 \ddot{\theta} - c_2 \dot{\varphi}}{J_2}
$$

将 $\ddot{\varphi}$ 代入第一个方程：

$$
\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \ddot{\theta} + J_2 \left(\frac{K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} - J_2 \ddot{\theta} - c_2 \dot{\varphi}}{J_2}\right) + c_1 \dot{\theta} - \left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \theta = 0
$$

化简后：

$$
\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \ddot{\theta} + K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} - J_2 \ddot{\theta} - c_2 \dot{\varphi} + c_1 \dot{\theta} - \left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \theta = 0
$$


合并同类项：

$$
(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1) \ddot{\theta} + c_1 \dot{\theta} - c_2 \dot{\varphi} - \left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \theta = - K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}
$$

解出 $\ddot{\theta}$：

$$
\ddot{\theta} = \frac{- K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} - c_1 \dot{\theta} + c_2 \dot{\varphi} + \left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \theta}{m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1}
$$

然后将 $\ddot{\theta}$ 代入 $\ddot{\varphi}$ 的表达式中，得到 $\ddot{\varphi}$：

$$
\ddot{\varphi} = \frac{K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} - J_2 \left(\frac{- K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} - c_1 \dot{\theta} + c_2 \dot{\varphi} + \left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \theta}{m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1}\right) - c_2 \dot{\varphi}}{J_2}
$$

简化一下就是：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\ddot{\theta} &= \frac{ - K_t \frac{V_m - K_b \dot{\varphi}}{R_a} - c_1 \dot{\theta} + (m_1 l_1 + m_2 l_2)g \theta + c_2 \dot{\varphi} }{ m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 } \\
\ddot{\varphi} &= \frac{ K_t \frac{V_m - K_b \dot{\varphi}}{R_a} (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 + J_2 ) - c_2 \dot{\varphi} (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 + J_2 ) + J_2 c_1 \dot{\theta} - J_2 (m_1 l_1 + m_2 l_2 ) g \theta }{ J_2 (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 ) }
\end{aligned}
}
$$

这样，我们就得到了 $\ddot{\theta}$ 和 $\ddot{\varphi}$ 的表达式。


- 电压输入 $V_{\mathrm{m}}$ 是控制变量
- 四个状态变量分别是 $\theta, \dot{\theta}, \varphi$ 和 $\dot{\varphi}$
- 输出扭矩 $\tau$ 根据方程 (4) 计算


## 推状态空间方程


开始推状态空间方程。注意，都是遵循了：在平衡点附近线性化（$\sin\theta \approx \theta$）。

### 1. 定义状态变量：
$$
\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 
x_1 \\ 
x_2 \\ 
x_3 \\ 
x_4 
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 
\theta \\ 
\dot{\theta} \\ 
\varphi \\ 
\dot{\varphi} 
\end{bmatrix}
$$

### 2. 求出加速度项

有刚才的这两个公式：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\ddot{\theta} &= \frac{ - K_t \frac{V_m - K_b \dot{\varphi}}{R_a} - c_1 \dot{\theta} + (m_1 l_1 + m_2 l_2)g \theta + c_2 \dot{\varphi} }{ m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 } \\
\ddot{\varphi} &= \frac{ K_t \frac{V_m - K_b \dot{\varphi}}{R_a} (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 + J_2 ) - c_2 \dot{\varphi} (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 + J_2 ) + J_2 c_1 \dot{\theta} - J_2 (m_1 l_1 + m_2 l_2 ) g \theta }{ J_2 (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 ) }
\end{aligned}
}
$$


### 3. 状态方程推导

根据状态变量定义，写出各状态的导数为：
$$
\begin{aligned}
\dot{x}_1 &= x_2 \\
\dot{x}_2 &= \frac{ - K_t \frac{V_m - K_b x_4}{R_a} - c_1 x_2 + (m_1 l_1 + m_2 l_2)g  x_1 + c_2 x_4 }{ m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 } \\
\dot{x}_3 &= x_4 \\
\dot{x}_4 &= \frac{ K_t \frac{V_m - K_b x_4}{R_a} (I_p + J_2) - c_2 x_4 (I_p + J_2) + J_2 c_1 x_2 - J_2 (m_1 l_1 + m_2 l_2)g  x_1 }{ J_2 I_p }
\end{aligned}
$$

总转动惯量： $I_p = m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1$

### 4. 状态方程（平衡点 $\theta \approx 0$）

在平衡点附近线性化（$\sin\theta \approx \theta$），得到​​状态方程​​（描述系统动态）：
$$
\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}V_m
$$

得到：

$$
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
\frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & -\frac{c_1}{I_p} & 0 & \frac{c_2 + \frac{K_t K_b}{R_a}}{I_p} \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-\frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & \frac{c_1}{I_p} & 0 & \frac{ -K_t K_b \frac{I_p +  J_2}{R_a} - c_2(I_p + J_2) }{J_2 I_p}
\end{bmatrix},
\quad
\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
0 \\
-\frac{K_t}{R_a I_p} \\
0 \\
\frac{K_t (I_p + J_2)}{R_a J_2 I_p}
\end{bmatrix}
$$


- **矩阵 $\mathbf{A}$**：描述了系统的状态变化与当前状态的关系。
- **矩阵 $\mathbf{B}$**：描述了系统的输入（如电压 $V_m$）对状态变化的影响。

### 5. 最终状态方程

最终状态空间方程
$$
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{x}} &= \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}V_m, \\
y &= \mathbf{C}\mathbf{x} + \mathbf{D}V_m
\end{aligned}
$$


其中：
$$
\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{D} = 0
$$


| 符号 | 单位 | 定义                           |
| ---- | ---- | ------------------------------ |
| θ    | rad  | 摆杆角度                       |
| φ    | rad  | 惯性轮角度                     |
| J₁   | kg.m²| 包括电机定子的摆杆转动惯量     |
| J₂   | kg.m²| 包括电机转子的轮子转动惯量     |
| c₁   | N.m.s/rad | 摆杆摩擦系数               |
| c₂   | N.m.s/rad | 轮子摩擦系数               |
| m₁   | kg   | 摆杆和定子的质量               |
| m₂   | kg   | 轮子和转子的质量               |
| l₁   | m    | 从原点到摆杆重心的长度         |
| l₂   | m    | 从原点到轮子重心的长度         |
| Kb   | V/(rad/s) | 反电动势常数               |
| Kt   | N.m/A | 电机扭矩常数                  |
| Ra   | Ω    | 电枢绕组电阻                   |


给IWP的参数：

| Symbol | Value                | Symbol | Value               |
|--------|----------------------|--------|---------------------|
| J₁     | 0.01186 (kg·m²)      | l₁     | 0.1053 (m)          |
| J₂     | 0.0005711 (kg·m²)    | l₂     | 0.14 (m)            |
| c₁     | 0.04 (N·m·s/rad)     | K_b    | 0.0987 (V/(rad/s))  |
| c₂     | 0.0001 (N·m·s/rad)   | K_t    | 0.0987 (N·m/A)      |
| m₁     | 0.826 (kg)           | R_a    | 1.5562 (Ω)          |
| m₂     | 0.583 (kg)           |        |                     |




## 如果是三个状态变量


根据要求，将状态变量重新定义为 $\mathbf{x} = [\theta, \dot{\theta}, \dot{\varphi}]^\top$，推导得到以下状态空间方程：

$$
\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}V_m
$$

其中，系统矩阵 $\mathbf{A}$ 和输入矩阵 $\mathbf{B}$ 分别为：

$$
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
\frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & -\frac{c_1}{I_p} & \frac{ K_t K_b / R_a + c_2}{I_p} \\
-\frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & \frac{c_1}{I_p} & \frac{ -K_t K_b \frac{I_p +  J_2}{R_a} - c_2(I_p + J_2) }{J_2 I_p}
\end{bmatrix},
\quad
\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
0 \\
-\frac{K_t}{R_a I_p} \\
\frac{K_t (I_p +  J_2)}{R_a J_2 I_p}
\end{bmatrix}
$$

输出方程（假设测量 $\theta$）：
$$
y = \mathbf{C}\mathbf{x}, \quad \mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$

总转动惯量： $I_p = m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1$


| 符号 | 单位 | 定义                           |
| ---- | ---- | ------------------------------ |
| θ    | rad  | 摆杆角度                       |
| φ    | rad  | 惯性轮角度                     |
| J₁   | kg.m²| 包括电机定子的摆杆转动惯量     |
| J₂   | kg.m²| 包括电机转子的轮子转动惯量     |
| c₁   | N.m.s/rad | 摆杆摩擦系数               |
| c₂   | N.m.s/rad | 轮子摩擦系数               |
| m₁   | kg   | 摆杆和定子的质量               |
| m₂   | kg   | 轮子和转子的质量               |
| l₁   | m    | 从原点到摆杆重心的长度         |
| l₂   | m    | 从原点到轮子重心的长度         |
| Kb   | V/(rad/s) | 反电动势常数               |
| Kt   | N.m/A | 电机扭矩常数                  |
| Ra   | Ω    | 电枢绕组电阻                   |


给IWP的参数：

| Symbol | Value                | Symbol | Value               |
|--------|----------------------|--------|---------------------|
| J₁     | 0.01186 (kg·m²)      | l₁     | 0.1053 (m)          |
| J₂     | 0.0005711 (kg·m²)    | l₂     | 0.14 (m)            |
| c₁     | 0.04 (N·m·s/rad)     | K_b    | 0.0987 (V/(rad/s))  |
| c₂     | 0.0001 (N·m·s/rad)   | K_t    | 0.0987 (N·m/A)      |
| m₁     | 0.826 (kg)           | R_a    | 1.5562 (Ω)          |
| m₂     | 0.583 (kg)           |        |                     |



## 推状态空间方程- 不考虑瑞利耗散


$$
\boxed{
\begin{aligned}
\ddot{\theta} &= \frac{ - K_t \frac{V_m - K_b \dot{\varphi}}{R_a} + (m_1 l_1 + m_2 l_2)g \theta  }{ m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 } \\
\ddot{\varphi} &= \frac{ K_t \frac{V_m - K_b \dot{\varphi}}{R_a} (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 +  J_2 ) - J_2 (m_1 l_1 + m_2 l_2 ) g \theta }{ J_2 (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 ) }
\end{aligned}
}
$$


状态方程（平衡点 $\theta \approx 0$）

在平衡点附近线性化（$\sin\theta \approx \theta$），得到​​状态方程​​（描述系统动态）：
$$
\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}V_m
$$

得到：

$$
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
\frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & 0 & 0 & \frac{ \frac{K_t K_b}{R_a}}{I_p} \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-\frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & 0 & 0 & \frac{ -K_t K_b \frac{I_p +  J_2}{R_a}}{J_2 I_p}
\end{bmatrix},
\quad
\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
0 \\
-\frac{K_t}{R_a I_p} \\
0 \\
\frac{K_t (I_p +  J_2)}{R_a J_2 I_p}
\end{bmatrix}
$$

总转动惯量： $I_p = m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1$


### 5. 最终状态方程

最终状态空间方程
$$
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{x}} &= \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}V_m, \\
y &= \mathbf{C}\mathbf{x} + \mathbf{D}V_m
\end{aligned}
$$


其中：
$$
\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{D} = 0
$$




| 符号 | 单位 | 定义                           |
| ---- | ---- | ------------------------------ |
| θ    | rad  | 摆杆角度                       |
| φ    | rad  | 惯性轮角度                     |
| J₁   | kg.m²| 包括电机定子的摆杆转动惯量     |
| J₂   | kg.m²| 包括电机转子的轮子转动惯量     |
| c₁   | N.m.s/rad | 摆杆摩擦系数               |
| c₂   | N.m.s/rad | 轮子摩擦系数               |
| m₁   | kg   | 摆杆和定子的质量               |
| m₂   | kg   | 轮子和转子的质量               |
| l₁   | m    | 从原点到摆杆重心的长度         |
| l₂   | m    | 从原点到轮子重心的长度         |
| Kb   | V/(rad/s) | 反电动势常数               |
| Kt   | N.m/A | 电机扭矩常数                  |
| Ra   | Ω    | 电枢绕组电阻                   |


给IWP的参数：

| Symbol | Value                | Symbol | Value               |
|--------|----------------------|--------|---------------------|
| J₁     | 0.01186 (kg·m²)      | l₁     | 0.1053 (m)          |
| J₂     | 0.0005711 (kg·m²)    | l₂     | 0.14 (m)            |
| c₁     | 0.04 (N·m·s/rad)     | K_b    | 0.0987 (V/(rad/s))  |
| c₂     | 0.0001 (N·m·s/rad)   | K_t    | 0.0987 (N·m/A)      |
| m₁     | 0.826 (kg)           | R_a    | 1.5562 (Ω)          |
| m₂     | 0.583 (kg)           |        |                     |





## 推状态空间方程- 不考虑瑞利耗散 + 扭矩简化为tao

因为：

$$
\tau=K_t i_a=K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}(公式4)
$$

所以：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
\ddot{\theta} &= \frac{ - \tau + (m_1 l_1 + m_2 l_2)g \theta  }{ m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 } \\
\ddot{\varphi} &= \frac{ \tau (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 +  J_2 ) - J_2 (m_1 l_1 + m_2 l_2 ) g \theta }{ J_2 (m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 ) }
\end{aligned}
}
$$


状态方程（平衡点 $\theta \approx 0$）

在平衡点附近线性化（$\sin\theta \approx \theta$），得到​​状态方程​​（描述系统动态）：
$$
\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\tau
$$

得到：

$$
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
\frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-\frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)g}{I_p} & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\quad
\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
0 \\
-\frac{1}{I_p} \\
0 \\
\frac{I_p +  J_2}{ J_2 I_p}
\end{bmatrix}
$$

总转动惯量： $I_p = m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1$




其中：
$$
\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{D} = 0
$$




| 符号 | 单位 | 定义                           |
| ---- | ---- | ------------------------------ |
| θ    | rad  | 摆杆角度                       |
| φ    | rad  | 惯性轮角度                     |
| J₁   | kg.m²| 包括电机定子的摆杆转动惯量     |
| J₂   | kg.m²| 包括电机转子的轮子转动惯量     |
| c₁   | N.m.s/rad | 摆杆摩擦系数               |
| c₂   | N.m.s/rad | 轮子摩擦系数               |
| m₁   | kg   | 摆杆和定子的质量               |
| m₂   | kg   | 轮子和转子的质量               |
| l₁   | m    | 从原点到摆杆重心的长度         |
| l₂   | m    | 从原点到轮子重心的长度         |
| Kb   | V/(rad/s) | 反电动势常数               |
| Kt   | N.m/A | 电机扭矩常数                  |
| Ra   | Ω    | 电枢绕组电阻                   |


给IWP的参数：

| Symbol | Value                | Symbol | Value               |
|--------|----------------------|--------|---------------------|
| J₁     | 0.01186 (kg·m²)      | l₁     | 0.1053 (m)          |
| J₂     | 0.0005711 (kg·m²)    | l₂     | 0.14 (m)            |
| c₁     | 0.04 (N·m·s/rad)     | K_b    | 0.0987 (V/(rad/s))  |
| c₂     | 0.0001 (N·m·s/rad)   | K_t    | 0.0987 (N·m/A)      |
| m₁     | 0.826 (kg)           | R_a    | 1.5562 (Ω)          |
| m₂     | 0.583 (kg)           |        |                     |

iwp 复杂系统建模，考虑电路+瑞利耗散

## 基本模型

电机模型：

$$V_m=i_aR_a+L_a\frac{di_a}{dt}+E_b$$

反电动势 (emf) $$E_{b}$$ 与角速度 $$ \dot{\varphi} $$ 相关。

$$E_{b}=K_{b}\dot{\varphi}$$

因为：$$L_a<<R_a$$

所以：
$$i_a=\frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}$$

电机转矩 $\tau$ 和反电动势 (emf) 有关：

$$
\tau=K_t i_a=K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a} (公式4)
$$


![image.png](/static/img/443e2914b6d6a197c25f86049b19c8d5.image.webp)





| 符号 | 单位 | 定义                           |
| ---- | ---- | ------------------------------ |
| θ    | rad  | 摆杆角度                       |
| φ    | rad  | 惯性轮角度                     |
| J₁   | kg.m²| 包括电机定子的摆杆转动惯量     |
| J₂   | kg.m²| 包括电机转子的轮子转动惯量     |
| c₁   | N.m.s/rad | 摆杆摩擦系数               |
| c₂   | N.m.s/rad | 轮子摩擦系数               |
| m₁   | kg   | 摆杆和定子的质量               |
| m₂   | kg   | 轮子和转子的质量               |
| l₁   | m    | 从原点到摆杆重心的长度         |
| l₂   | m    | 从原点到轮子重心的长度         |
| Kb   | V/(rad/s) | 反电动势常数               |
| Kt   | N.m/A | 电机扭矩常数                  |
| Ra   | Ω    | 电枢绕组电阻                   |

- 平动动能 Translational kinetic: 

$$
T_1=\frac{1}{2} m_1\left(l_1 \dot{\theta}\right)^2+\frac{1}{2} m_2\left(l_2 \dot{\theta}\right)^2 (公式6)
$$

- 转动动能 Rotational kinetic:

$$
T_2=\frac{1}{2} J_1 \dot{\theta}^2+\frac{1}{2} J_2(\dot{\theta}+\dot{\varphi})^2(公式7)
$$


系统的动能：

$$
\begin{aligned}
T & =T_1+T_2 \\
& =\frac{1}{2}\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \dot{\theta}^2+J_2 \dot{\theta} \dot{\varphi}+\frac{1}{2} J_2 \dot{\varphi}^2
\end{aligned} (公式8)
$$

以O点作为势能的基准。因此，势能为：

$$
V=\left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \cos (\theta)(公式9)
$$


平面倒立摆的拉格朗日函数为：

$$
\begin{aligned}
L & =T-V=\frac{1}{2}\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \dot{\theta}^2 \\
& +J_2 \dot{\theta} \dot{\varphi}+\frac{1}{2} J_2 \dot{\varphi}^2-\left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \cos (\theta)
\end{aligned}(公式10)
$$

耗散能量：

$$
R=\frac{1}{2} c_1 \dot{\theta}^2+\frac{1}{2} c_2 \dot{\varphi}^2(公式11)
$$


从拉格朗日方程得到的关于 θ 的旋转轴上的力矩为，这个公式是最后一个公式需要用的：

$$
\begin{gathered}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right)+\frac{\partial R}{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0 (公式12)\\ 
\Leftrightarrow\left(m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2\right) \ddot{\theta}+J_2 \ddot{\varphi}+c_1 \dot{\theta} -\left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \sin (\theta)=0
(公式13)\end{gathered} 
$$


从拉格朗日方程得到的关于 φ 的旋转轴上的力矩为：

$$
\begin{aligned}
& \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}\right)+\frac{\partial R}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial L}{\partial \varphi}=0 (公式14)\\
& \Leftrightarrow J_2(\ddot{\theta}+\ddot{\varphi})+c_2 \dot{\varphi}=\tau
(公式15)\end{aligned}
$$

$$\tau$$ 是电机的扭矩。

因为：

$$
\tau=K_t i_a=K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}(公式4)
$$

由公式4和公式15可以得到：

$$
J_2(\ddot{\theta}+\ddot{\varphi})+c_2 \dot{\varphi}=K_t \frac{V_m-K_b \dot{\varphi}}{R_a}(公式16)
$$


由公式13和公式16，平面倒立摆的非线性模型为：

$$
\begin{aligned}
& {\left[\begin{array}{cc}
m_1 l_1^2+m_2 l_2^2+J_1+J_2 & J_2 \\
J_2 & J_2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\ddot{\theta} \\
\ddot{\varphi}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
c_1 & 0 \\
0 & \frac{K_t K_b}{R_a}+c_2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\dot{\theta} \\
\dot{\varphi}
\end{array}\right]} \\
& +\left[\begin{array}{c}
-\left(m_1 l_1+m_2 l_2\right) g \sin (\theta) \\
0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
0 \\
\frac{K_t}{R_a}
\end{array}\right] V_m (公式17)
\end{aligned}
$$



给IWP的参数：

| Symbol | Value                | Symbol | Value               |
|--------|----------------------|--------|---------------------|
| J₁     | 0.01186 (kg·m²)      | l₁     | 0.1053 (m)          |
| J₂     | 0.0005711 (kg·m²)    | l₂     | 0.14 (m)            |
| c₁     | 0.04 (N·m·s/rad)     | K_b    | 0.0987 (V/(rad/s))  |
| c₂     | 0.0001 (N·m·s/rad)   | K_t    | 0.0987 (N·m/A)      |
| m₁     | 0.826 (kg)           | R_a    | 1.5562 (Ω)          |
| m₂     | 0.583 (kg)           |        |                     |

- 电压输入 $V_{\mathrm{m}}$ 是控制变量
- 四个状态变量分别是 $\theta, \dot{\theta}, \varphi$ 和 $\dot{\varphi}$
- 输出扭矩 $\tau$ 根据方程 (4) 计算


## 控制变量法-Vm 分析

从Simulink模型中，电压输入 $V_{\mathrm{m}}$ 以10V、15V和20V的步进形式施加。电压输入引起了车轮和摆锤的运动，如图8所示。

仿真结果表明：
- 在图8.a中，车轮的速度在约0.5秒时达到稳态。同时，直流电动机在车轮上产生一个力矩，如图8.b所示，惯性轮以一定的加速度旋转，如图8.c所示。摆锤被力矩驱动并围绕平衡位置摆动。从图8.d可以看出，较高的 $V_{\mathrm{m}}$ 使得摆锤角度的振幅更大，这表明在摆锤上生成的力更大。然而，摆锤的振荡频率在所有情况下都是相同的，这意味着 $V_{\mathrm{m}}$ 不影响摆锤的振荡频率。
- 当车轮速度进入稳态时，如图8.b所示，电机无法长时间维持转子力矩。在这个状态下，该力矩将等于摩擦力矩，车轮的加速度为零，摆锤仅受重力影响，并逐渐回到平衡位置 oscillates gradually back to equilibrium position。


![image.png](/static/img/a7f8cf356cde40cfba728c94bd90acaf.image.webp)

## 控制变量法-l2 分析
在图 9.a、9.b、9.c 中，所有情形的响应都是相同的，这意味着 l2 对惯性轮运动的响应没有影响。然而，当 l2 改变时，摆的角度是不同的。在给电机相同电压的情况下，较大的 l2 会导致摆角幅度较小，这意味着作用在摆上的总力较小。此外，振荡频率较低且更稳定。

摆的长度会影响作用于摆上的力。选择适合 l2 的电机是有用的。较大的 l2 对摆角响应有负面影响。


![image.png](/static/img/c5e6f22fccc804c33bd284f00bc32e4d.image.webp)

## 控制变量法-J2 分析

另一个重要的IWP参数是飞轮的惯性矩J2。与l2的情况相同，直流电机将接收到20V的阶跃输入Vm。J2的值在0.0005kg.m²、0.002kg.m²和0.005kg.m²之间变化。其他参数保持与表2中一致。仿真结果显示：

1. 在图10.a中，飞轮速度的定常时间随着J2的增加而变长，但稳态值在所有情况下都相同。在短时间内，电机扭矩在0秒时相同，但随着J2的增加，其影响时间也变长，如图10.b所示。在图10.c中，飞轮的加速度在0秒时不同：惯性矩较小的飞轮在起始时的加速度较高，但更快趋于零。

2. 因此，在图10.d中，摆角的振幅在J2较大时也较大，这是因为电机扭矩的影响时间更长。
3. J2对电机的加速过程有积极影响，因此较大的J2有助于保持摆动的动量，但系统的质量也会增加。


![image.png](/static/img/53e12dd23645b013e490f3c412df571b.image.webp)

## 控制变量法-质量m2分析

最后一个要模拟的参数是飞轮的质量m2。与l2、J2相似，直流电机将接收到20V的阶跃输入Vm，并将m2的值改变为0.5kg、0.8kg和1kg。其他参数保持不变。仿真结果显示：

1. 从图11.a、11.b、11.c可以看出，所有m2的情况下，飞轮的速度、加速度和电机扭矩相同。因此，飞轮的质量对上述物理参数的响应没有影响。
2. 从图11.d可以看出，较大的m2使得摆角的振幅较小，这是由于重力的影响。
3. m2对系统的性能有负面影响。


![image.png](/static/img/bfd4f1b4552573d2aa02b129242b0670.image.webp)


## 对公式17的理解


### 动能与势能公式：
$$
T = \frac{1}{2}\left(m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 + J_2\right) \dot{\theta}^2 + J_2 \dot{\theta} \dot{\varphi} + \frac{1}{2} J_2 \dot{\varphi}^2
$$
$$
V = \left(m_1 l_1 + m_2 l_2\right) g \cos(\theta)
$$

### 拉格朗日方程导出：
$$
(m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 + J_2) \ddot{\theta} + J_2 \ddot{\varphi} + c_1 \dot{\theta} - \left(m_1 l_1 + m_2 l_2\right) g \sin(\theta) = 0
$$
$$
J_2(\ddot{\theta} + \ddot{\varphi}) + c_2 \dot{\varphi} = \tau
$$
$$
\tau = K_t \frac{V_m - K_b \dot{\varphi}}{R_a}
$$

### 矩阵方程：
$$
\begin{aligned}
 & \left[\begin{array}{cc}
m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 + J_2 & J_2 \\
J_2 & J_2
\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}
\ddot{\theta} \\
\ddot{\varphi}
\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}
c_1 & 0 \\
0 & \frac{K_t K_b}{R_a} + c_2
\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}
\dot{\theta} \\
\dot{\varphi}
\end{array}\right] \\
& + \left[\begin{array}{c}
- \left(m_1 l_1 + m_2 l_2\right) g \sin(\theta) \\
0
\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}
0 \\
\frac{K_t}{R_a} V_m
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$

结合矩阵形式，含有状态方程 $\theta$ 和 $\varphi$ 的运动方程可以理解为：

### 使用矩阵表示：
$$
A \left[\begin{array}{c}
\ddot{\theta} \\
\ddot{\varphi}
\end{array}\right] = -B \left[\begin{array}{c}
\dot{\theta} \\
\dot{\varphi}
\end{array}\right] + C
$$

其中：
$$
A = \left[\begin{array}{cc}
m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 + J_2 & J_2 \\
J_2 & J_2
\end{array}\right]
$$
$$
B = \left[\begin{array}{cc}
c_1 & 0 \\
0 & \frac{K_t K_b}{R_a} + c_2
\end{array}\right]
$$
$$
C = \left[\begin{array}{c}
- (m_1 l_1 + m_2 l_2) g \sin(\theta) \\
\frac{K_t}{R_a} V_m
\end{array}\right]
$$

将 $\tau$ 代入第二个方程：
$$
J_2 (\ddot{\theta} + \ddot{\varphi}) + c_2 \dot{\varphi} = K_t \frac{V_m - K_b \dot{\varphi}}{R_a}
$$

将矩阵形式重写：
$$
A \ddot{X} = -B \dot{X} + C
$$


## 代码里acceleration是什么

在 MATLAB 中，`A \ b` 表示将线性方程组 $A x = b$ 解出 $x$，即 $x = A^{-1} b$。这个操作称为“左除”运算符，用于求解涉及矩阵的线性方程。

现在详细解释这行代码：

```matlab
acceleration = A \ (-B * [theta_dot; phi_dot] + C);
```

### 背景和公式推导

我们原来推导的系统方程是：
$$
A \ddot{X} = -B \dot{X} + C
$$

其中:
- $\ddot{X}$ 表示系统的加速度
- $\dot{X}$ 表示系统的速度
- $A$、$B$ 和 $C$ 是系统的参数矩阵和向量

### 分解解释

1. **矩阵定义:**
    - $A$:
    $$
    A = \begin{pmatrix}
    m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2 + J_1 + J_2 & J_2 \\
    J_2 & J_2
    \end{pmatrix}
    $$
    
    - $B$:
    $$
    B = \begin{pmatrix}
    c_1 & 0 \\
    0 & \frac{K_t K_b}{R_a} + c_2
    \end{pmatrix}
    $$
   
    - $C$:
    $$
    C = \begin{pmatrix}
    - (m_1 l_1 + m_2 l_2) g \sin(\theta) \\
    \frac{K_t}{R_a} V_m
    \end{pmatrix}
    $$

2. **速度向量 $\dot{X}$:**
    $$ \dot{X} = \begin{pmatrix} \dot{\theta} \\ \dot{\varphi} \end{pmatrix} $$

3. **公式运算:**
    - 计算 $-B \dot{X} + C$:
    $$
    -B \begin{pmatrix} \dot{\theta} \\ \dot{\varphi} \end{pmatrix} + C
    = - \begin{pmatrix}
    c_1 & 0 \\
    0 & \frac{K_t K_b}{R_a} + c_2
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix} \dot{\theta} \\ \dot{\varphi} \end{pmatrix}
    + \begin{pmatrix}
    - (m_1 l_1 + m_2 l_2) g \sin(\theta) \\
    \frac{K_t}{R_a} V_m
    \end{pmatrix}
    $$

4. **线性方程求解:**
    - 我们需要解出 $\ddot{X}$:
    $$
    A \ddot{X} = -B \dot{X} + C
    $$
    - 由此，得到加速度 $\ddot{X}$:
    $$
    \ddot{X} = A^{-1} \left( -B \dot{X} + C \right)
    $$

在 MATLAB 中，我们使用左除运算符 `\` 直接求解这个逆矩阵乘法，因此：
```matlab
acceleration = A \ (-B * [theta_dot; phi_dot] + C);
```
这行代码计算的是系统当前状态下的加速度 $\ddot{\theta}$ 和 $\ddot{\varphi}$，它们存储在 `acceleration` 向量中。

用简单的话来说，这行代码的目的是根据速度 $\dot{\theta}$ 和 $\dot{\varphi}$ 以及其他参数，计算系统在当前状态下的角加速度 $\ddot{\theta}$ 和 $\ddot{\varphi}$。


## 加入PID控制器

![image.png](/static/img/bacfa793241e44d2270562b7c08a69f0.image.webp)


## 


# 倒立摆系统符号形式状态空间方程

本文档提供了倒立摆系统的符号形式状态空间方程，保留了系统参数的符号表示。

## 系统参数符号

| 符号 | 描述 |
|------|------|
| $J_1$ | 摆杆转动惯量 (kg·m²) |
| $J_2$ | 惯性轮转动惯量 (kg·m²) |
| $c_1$ | 摆杆摩擦系数 (N·m·s/rad) |
| $c_2$ | 惯性轮摩擦系数 (N·m·s/rad) |
| $m_1$ | 摆杆质量 (kg) |
| $m_2$ | 惯性轮质量 (kg) |
| $l_1$ | 摆杆重心距离 (m) |
| $l_2$ | 惯性轮重心距离 (m) |
| $K_b$ | 反电动势常数 (V/(rad/s)) |
| $K_t$ | 电机扭矩常数 (N·m/A) |
| $R_a$ | 电枢电阻 (Ω) |
| $g$ | 重力加速度 (m/s²) |

## 状态变量

状态向量 $\mathbf{x} = [\theta, \dot{\theta}, \phi, \dot{\phi}]^T$ 包含：

* $\theta$ - 摆杆角度
* $\dot{\theta}$ - 摆杆角速度
* $\phi$ - 惯性轮角度
* $\dot{\phi}$ - 惯性轮角速度

输入 $u = V_m$ 是电机电压，输出可以是摆杆角度 $\theta$ 或惯性轮角速度 $\dot{\phi}$。

## 状态空间模型

倒立摆系统的状态空间模型采用标准形式：

$$\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u}$$

$$\mathbf{y} = \mathbf{C}\mathbf{x} + \mathbf{D}\mathbf{u}$$

## 系统基本矩阵

系统由以下基本矩阵描述：

### 质量矩阵

$$
\mathbf{M} = \begin{bmatrix}
J1 + J2 + l1^2*m1 + l2^2*m2 & J2 \\
J2 & J2
\end{bmatrix}
$$

### 阻尼矩阵

$$
\mathbf{C} = \begin{bmatrix}
c1 & 0 \\
0 & c2 + (Kb*Kt)/Ra
\end{bmatrix}
$$

### 重力项矩阵

$$
\mathbf{K} = \begin{bmatrix}
-g*(l1*m1 + l2*m2) & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
$$

### 输入矩阵

$$
\mathbf{B}_{\text{input}} = \begin{bmatrix}
0 \\
Kt/Ra
\end{bmatrix}
$$

## 加速度表达式

基于动力学方程，加速度表达式为：

$$
\begin{bmatrix} \ddot{\theta} \\ \ddot{\phi} \end{bmatrix} = \mathbf{M}^{-1} \left( -\mathbf{C} \begin{bmatrix} \dot{\theta} \\ \dot{\phi} \end{bmatrix} - \mathbf{K} \begin{bmatrix} \theta \\ 0 \end{bmatrix} + \mathbf{B}_{\text{input}} V_m \right)
$$

具体展开后得到：

$$
\ddot{\theta} = (phi_dot*(c2 + (Kb*Kt)/Ra) - (Kt*Vm)/Ra)/(J1 + l1^2*m1 + l2^2*m2) - (c1*theta_dot - g*theta*(l1*m1 + l2*m2))/(J1 + l1^2*m1 + l2^2*m2)
$$

$$
\ddot{\phi} = (c1*theta_dot - g*theta*(l1*m1 + l2*m2))/(J1 + l1^2*m1 + l2^2*m2) - ((phi_dot*(c2 + (Kb*Kt)/Ra) - (Kt*Vm)/Ra)*(J1 + J2 + l1^2*m1 + l2^2*m2))/(J1*J2 + J2*l1^2*m1 + J2*l2^2*m2)
$$

## 状态空间矩阵A

A矩阵定义状态变量之间的关系：

$$
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
\frac{\partial \ddot{\theta}}{\partial \theta} & \frac{\partial \ddot{\theta}}{\partial \dot{\theta}} & \frac{\partial \ddot{\theta}}{\partial \phi} & \frac{\partial \ddot{\theta}}{\partial \dot{\phi}} \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\frac{\partial \ddot{\phi}}{\partial \theta} & \frac{\partial \ddot{\phi}}{\partial \dot{\theta}} & \frac{\partial \ddot{\phi}}{\partial \phi} & \frac{\partial \ddot{\phi}}{\partial \dot{\phi}}
\end{bmatrix}
$$

展开具体表达式：

$$
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
(g*(l1*m1 + l2*m2))/(J1 + l1^2*m1 + l2^2*m2) & -c1/(J1 + l1^2*m1 + l2^2*m2) & 0 & (c2 + (Kb*Kt)/Ra)/(J1 + l1^2*m1 + l2^2*m2) \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-(g*(l1*m1 + l2*m2))/(J1 + l1^2*m1 + l2^2*m2) & c1/(J1 + l1^2*m1 + l2^2*m2) & 0 & -((Ra*c2 + Kb*Kt)*(J1 + J2 + l1^2*m1 + l2^2*m2))/(J2*Ra*(J1 + l1^2*m1 + l2^2*m2))
\end{bmatrix}
$$

## 状态空间矩阵B

B矩阵定义输入对状态变量变化率的影响：

$$
\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
\frac{\partial \dot{\theta}}{\partial V_m} \\
\frac{\partial \ddot{\theta}}{\partial V_m} \\
\frac{\partial \dot{\phi}}{\partial V_m} \\
\frac{\partial \ddot{\phi}}{\partial V_m}
\end{bmatrix}
$$

展开具体表达式：

$$
\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
0 \\
-Kt/(Ra*(J1 + l1^2*m1 + l2^2*m2)) \\
0 \\
(Kt*(J1 + J2 + l1^2*m1 + l2^2*m2))/(J2*Ra*(J1 + l1^2*m1 + l2^2*m2))
\end{bmatrix}
$$

iwpx

以上是我ocr得到的论文文字，请你给我整理一下文字，因为排布有些混乱，我不需要markdown格式，给我一般格式就可以。OCR出来的文字可能是错的，换行也是错的，你帮我改正。尊崇论文的原文，我要你复述论文的原文，不要瞎总结。



# Role: Document Cleaner

## Profile
- author: LangGPT
- version: 1.0
- language: 中文
- description: 你擅长清理OCR识别的文档内容，整理文本格式，纠正文字错误，并确保尊重原文。

## Skills
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## Background:
处理OCR文档时，常会遇到排版混乱和识别错误的问题。这个提示词旨在确保对文档进行清理、纠错，同时尊重原文的内容。

## Goals:
1. 纠正OCR识别错误和格式问题。
2. 保持文档内容的忠实性，不加入总结或无关内容。
3. 提供清晰、简洁的文本，适用于进一步处理。

## OutputFormat:
普通文本格式，无需Markdown格式，文本应符合标准排版要求。

## Rules
1. 尊重论文的原文，避免加入额外解释或总结。
2. 纠正文字错误，确保语法正确和格式清晰。
3. 不使用Markdown格式，仅提供文本内容。

## Workflows
1. 清理OCR文档中的格式错误，包括换行和排版问题。
2. 纠正OCR识别中的单词错误或漏字。
3. 保证内容准确，避免偏离原文。



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